Konvergenz op lange Sicht: dat Gesett vun de groten Tallen bi't Roulette
Wo sik de Dörsnitt bi −2,70% inpendelt, un worüm dat länger duert, as een dat ut't Buukgefööl verwacht.
De Dörsnittsverlust je Coup konvergeert gegen −1/37, wenn de Coups mehr warrt, un de Streeuung warrt lütter as 1/√N. Na 1.000 Coups op Root liggt de Dörsnitt in de Regel binnen ±3% vun sien Verwachtwert.
Gesett vun de groten Tallen
De lopende Dörsnitt vun unafhängige Wetten geiht gegen den VerwachtwertMathematikVerwachtwertDat dörsnittliche Resultat per Wett op lange Sicht. −1/37 vun'n Insatz för elk gewöhnlich Wett bi't europääsche Roulette.Allens lesen →. Na N Coups op en eenfache Chance mit een EenheitGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen → hett dat Dörsnittsresultat je Coup den Verwachtwert −1/37 un de StandardafwiekungMathematikStandardafwiekungQuadraatwuddel vun de Varianz; de typische Afstand vun en Resultat to'n Verwachtwert.Allens lesen → 1/√N. Bi N = 100 is disse Streeuung 10% vun'n Insatz, bina veermal so groot as dat Signal vun 2,7%. Bi N = 1.000 sünd dat 3,2%, so üm dat sülve as dat Signal. Bi N = 10.000 sünd dat 1%, un de Vordeel is düütlich to sehn. In een Sitzung is de Vordeel nich to sehn, in een Johr is he nich to översehn.
Wat konvergeert un wat nich
De Dörsnitt je Coup konvergeert. De Summ nich: Se dreevt jümmer wieder vun null weg, wenn N wasst, in'n Verwachten üm so 2,7% vun N, mit en Streeuung vun √N dor rüm. Wer 10.000 Coups to $10 spelt hett, liggt na de Verwachten mit $2.700 in't Minus, $1.000 mehr oder minner. De lopende Andeel vun RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → hett sik al lang bi so üm 48,65% inpendelt; dat lopende Saldo hett sik nargens inpendelt.
- p10 −$440
- p25 −$280
- Median −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Worüm dat Buukgefööl sik verdeit
Lüüd verwacht, dat de Vordeel gau to sehn is, wiel 2,70% na veel klingt, un dat lange Serien sik „utglieken“, wiel dat Gesett vun de groten TallenMathematikGesett vun de groten TallenDe Dörsnitt vun unafhängige Resultaten kümmt den Verwachtwert jümmer neger, wenn de Tall vun de Versöök wasst.Allens lesen → seggt, dat Dörsnitten konvergeert. Beid Gefööls verdeit sik bi de Grött: De Vordeel is lütt gegen de VarianzMathematikVarianzEn Maat dorför, wo wiet de Resultaten üm den Verwachtwert streut. Hooch bi de vulle Tall, sied bi eenfache Chancen.Allens lesen → vun een enkelten Coup (σ = 1 Eenheit gegen EV = 0,027), also bruukt dat (1/0,027)² ≈ 1.400 Coups, bit he een Sigma wiet to sehn is. Un dat de Dörsnitt konvergeert, treckt de Summ nich torüch; dat verdünnt blots fröhere Swankungen.
Konvergenz bi anner Wetten
Bi vulle TallenWettVulle TallEn enkelte Tall, betahlt 35:1.Allens lesen → is σ = 5,84, also gifft de sülve Reken (5,84/0,027)² ≈ 47.000 Coups, bit de Vordeel een Sigma rekt. Wer op vulle Tallen sett, kann johrenlang spelen, ahn dat sik de Vordeel in de egen Opteken vun't Glück ünnerscheden lett, un betahlt dorbi jüst de sülven 2,70% as de Speler op Root, de em binnen Weken süht.
Wat dat för't Testen vun Systemen heet
Wer seggt, en System funkscheneert, de schull dat över 10.000 oder mehr Coups mit en dokumenteert positiven Dörsnitt wiesen köönt. Bi 1.000 Coups is en positiven Dörsnitt op en eenfache Chance ünner de Nullhypothese en Ereignis, dat in een vun fiev Fällen vörkümmt; bi 100 Coups is dat bina en Münt smieten. De Simulators op disse Websiet laat 2.000 Sitzungen in de Läng, de Se utwählt, in een Sekunn lopen, un dat is mehr Bewies as jeedeen Erfahrensbericht.
Formel
Fragen
De WahrschienlichkeitMathematikWahrschienlichkeitMaat dorför, wo wahrschienlich en Resultat is, vun 0 bet 1 oder vun 0% bet 100%. En Tall: 1/37 = 2,70%.Allens lesen →, jemals wedder in't Plus to liggen, fallt gegen null, je länger Se spelt. De Summ dreevt ahn Grenz na ünnen.
Nee. Dat heet, dat fröhere Swankungen en lütteren Deel vun en gröttere Stichprööv warrt.
Bi en eenfache Chance so üm 10.000, bevör de Vordeel düütlich to sehn is. Bi vulle Tallen so üm 50.000.
Mathe to'n Mitdenken
Versöökt Se dat toeerst sülven. Elk Lösung is toklappt; maakt Se ehr op, wenn Se so wiet sünd.
Twee Frünnen speelt 20 Runnen vun en fair SpeelMathematikFair SpeelEn Speel, in dat keen Siet en Vordeel hett: Elk Wett hett den Verwachtwert null.Allens lesen →, Münt smieten oder RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → gegen SwartWettSwartEenfache Chance op de 18 swarten Tallen. Franzöösch: Noir.Allens lesen → mit torüchgeven Insätt bi ZeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen →, un föhrt en lopenden Speelstand. Tellt Se de Runnen, in de elk vörn liggt (en Gliekstand tellt för den, de direktemang dorvör vörn weer). Wat is wahrschienlicher: dat de Föhrung 10 to 10 Runnen deelt warrt oder dat een Fründ all 20 vörn liggt?
Lösung wiesen
Antwoort Dat een Fründ all 20 Runnen vörn liggt, is wiet wahrschienlicher: 35,2%, för beide Frünnen tosamen, gegen 6,1% för en utgleken 10 to 10.
De Wahrschienlichkeit, dat en fair lopen Speelstand na 2k Runnen utgleken is, is u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 na 10 Runnen un 0,176 na 20. En klassisch Resultat, dat Arkussinus-Gesett, seggt, dat en bestimmten Fründ mit de Wahrschienlichkeit u(2k) × u(2n − 2k) akkraat 2k vun 2n Runnen vörn liggt.
All 20 vörn: u(20) × u(0) = 0,176 för elk Fründ, 35,2% för een vun beiden. En glieke Updeelung: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, de unwahrschienlichste Updeelung vun all.
In en fair Speel wesselt de Föhrung also roor. En Speler, de den helen Avend vörn oder den helen Avend achtern leeg, hett nix Ungewöhnlichs beleevt, un dat seggt nix över den Ketel oder över Könen. Epstein (2013) nöömt datsülve Gesett för längere Speels: In de Hälft vun de Fäll liggt de Siet mit mehr Glück över mehr as 85% vun dat Speel vörn.
To'n Grienen
De Dörsnitt konvergeert. De Summ geiht eenfach weg.
Borns
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.