Opgaav: De Geburtsdagsketel
Wo vele Coups, bit sik irgendeen Tall wedderhaalt? Veel weniger, as de meisten schätzt.
Dat Geburtsdagsproblem an en Ketel mit 37 FäckUtstattungFackEen vun de 37 nummereerten Fäck vun de Dreihschiev (Tallenfack). Ok: Slot, Cup.Allens lesen →: Al na 8 Coups is de Wahrschienlichkeit mehr as de Hälft, dat irgendeen Tall al tweemal kamen is. Spelers leest Wedderhalen as Muster; se sünd dat, wat een vun en fehlerfree Ketel verwacht.
De Opgaav
Se spelt an en fehlerfree europääschen Ketel. Wo vele Coups, bit de WahrschienlichkeitMathematikWahrschienlichkeitMaat dorför, wo wahrschienlich en Resultat is, vun 0 bet 1 oder vun 0% bet 100%. En Tall: 1/37 = 2,70%.Allens lesen →, dat tominnst twee Coups de sülve Tall wiest hebbt, över de Hälft liggt? De meisten Spelers schätzt irgendwo bi 18 oder 19, de Hälft vun 37. De Antwoort is 8.
De Lösung
Reekt Se de Wahrschienlichkeit ut, dat sik nix wedderhaalt, un treckt Se de vun een af. Na k Coups gellt p(all verscheden) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). För k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, also p(irgendeen Wedderhalen) ≈ 0,56. För k = 14 sünd dat 0,93; för k = 20 sünd dat 0,996. Dat Buukgefööl verdeit sik, wiel de Tall vun de Poren vun Coups as k² wasst un elk Poor övereenstimmen kann.
Worüm dat an'n Disch tellt
En Permanenzanzeig vun de letzten 20 Tallen wiest meist jümmer tominnst een Wedderhalen, faken twee oder dree. Spelers seht „de 17 is tweemal in teihn Coups kamen“ un sluut, de 17 is hitt; de Geburtsdagsreken seggt, dat en Wedderhalen binnen teihn Coups in 74% vun de Fällen vörkummt un de Tall, de sik wedderhaalt, tofällig is. Dat Muster is echt; de Bedüden is dat nich.
De Folgopgaav
Wo vele Coups, bit en bestimmte Tall, seggt wi de 17, tweemal kamen is? Dat is en anner Fraag mit en veel gröttere Antwoort: Dat verwachte Töven sünd 74 Coups, un de Wahrschienlichkeit för twee Mal 17 binnen 20 Coups liggt bi so üm 10%. De Ünnerscheed twischen „irgendeen Tall haalt sik wedder“ (8 Coups) un „disse Tall haalt sik wedder“ (74 Coups) is de hele Ünnerscheed twischen en Muster, dat Se achterna marken doot, un en Vörutseggen, dat Se vörher maakt.
Probeert Se dat ut
Spelt Se in dat Demo-Speel teihn Coups un kiekt Se sik den Verloop an. Meist gifft dat en Wedderhalen. Spelt Se noch eenmal. De Tall, de sik wedderhaalt, is en anner. Doot Se dat teihnmal, un Se hebbt dat GeburtsdagsproblemMathematikGeburtsdagsproblemWo vele Minschen dat bruukt, bet twee wahrschienlich an'n sülven Dag Geburtsdag hebbt, oder wo vele Coups, bet sik en Tall wahrschienlich wedderhaalt. An en Ketel mit 37 Fäck langt 8 Coups för en Wahrschienlichkeit vun mehr as de Hälft.Allens lesen → sehn; doot Se dat dusendmal (de Simulators köönt dat), un Se hebbt dat meten.
Formel
Fragen
Jüst, mit 37 Fäck statt 365 Daag. 23 Minschen geevt 50% bi Geburtsdaag; 8 Coups geevt 56% bi'n Ketel.
50% na so üm 19 Coups. Jümmer noch alldäglich.
Nee. Dusende Coups an een Ketel kunnen dat; en Wedderhalen nienich.
Mathe to'n Mitdenken
Versöökt Se dat toeerst sülven. Elk Lösung is toklappt; maakt Se ehr op, wenn Se so wiet sünd.
En Permanenzanzeig blangen en amerikaanschen Ketel wiest de letzten 16 Coups. Wo wahrschienlich is dat, dat keen Tall dor tweemal op steiht?
Lösung wiesen
Antwoort So üm 2,5%: Ungefähr 39 vun 40 Anzeigen wiest tominnst een Wedderhalen.
Gaht Se Coup för Coup vör. De eerste Coup kann allens wesen. De twete mutt em verfehlen: 37 Mööglichkeiten vun 38. De drüdde mutt beid verfehlen: 36 vun 38. De sössteihnte mutt föffteihn Tallen verfehlen: 23 vun 38.
Multipliceert Se: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
En Anzeig ahn Wedderhalen is de rare. En Anzeig mit Wedderhalen seggt nix över den Ketel.
Wo groot is bi teihn Coups an en europääschen Ketel de Wahrschienlichkeit, dat de 17 jüst fiefmal kummt? Dat irgendeen Tall fiefmal oder faker kummt? Un dat irgendeen Tall in veer Coups tominnst dreemal kummt?
Lösung wiesen
Antwoort De 17 jüst fiefmal: 1 vun 315.576. Irgendeen Tall fiefmal oder faker: so üm 1 vun 8.333. Irgendeen Tall dreemal oder faker in veer Coups: 1 vun 349.
17 fiefmal: Söökt Se ut, welk fiev vun de teihn Coups dat sünd – 252 Mööglichkeiten, elk mit de Wahrschienlichkeit (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Tosamen 1 vun 315.576.
Irgendeen Tall: Elk vun de 37 Tallen hett för fiev oder mehr Treffers de Wahrschienlichkeit 1 vun 308.325, wat 37 vun 308.325 oder 1 vun 8.333 gifft. De rare Fall, dat twee Tallen elk fiev Treffers hebbt, warrt dubbelt tellt, aver em ruttonehmen ännert bi disse Akkraatheit nix.
Dreemal in veer Coups: För een Tall sünd dat 4 × 36 + 1 = 145 vun de 37⁴ möglichen Resultaten; för een vun de 37 Tallen 145/37³ = 1 vun 349.
För en Ketel mit Dubbel-ZeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen → sünd de passenden Weerten 1 vun 359.275, 1 vun 9.243 un 1 vun 368. De Ünnerscheed twischen „17“ un „irgendeen Tall“ is wedder dat GeburtsdagsproblemMathematikGeburtsdagsproblemWo vele Minschen dat bruukt, bet twee wahrschienlich an'n sülven Dag Geburtsdag hebbt, oder wo vele Coups, bet sik en Tall wahrschienlich wedderhaalt. An en Ketel mit 37 Fäck langt 8 Coups för en Wahrschienlichkeit vun mehr as de Hälft.Allens lesen →: Dat gifft 37 Mööglichkeiten, sik to wunnern.
To'n Grienen
Fröh haalt sik wat wedder. Dat Wat is tofällig.
Borns
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard“, Fragen över dat Roulette.