Standardafwiekung bi't Roulette
De Standardafwiekung bi't Roulette, de Quadraatwuddel vun de VarianzMathematikVarianzEn Maat dorför, wo wiet de Resultaten üm den Verwachtwert streut. Hooch bi de vulle Tall, sied bi eenfache Chancen.Allens lesen →, is de typische Afstand twischen en Resultat un sien Verwachtwert.
Je sett $1 is σ bi en vulle Tall 5,84 un bi Root 1,00. Nehmt Se dat mal den Insatz un mal de Quadraatwuddel vun de Tall vun Coups, denn hebbt Se de Streuung vun en Sitzung.
Duumregel
So üm twee Drüddel vun de Sitzungen landt binnen een σ üm den Verwachtwert un 95% binnen twee. Bi 100 Coups op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → mit $10 (verwacht −$27, σ = $100) liggt de meisten Sitzungen twischen −$127 un +$73 un meist all twischen −$227 un +$173. En Resultat buten disse Spannwiet bewiest nix, blots dat elk twintigste Sitzung dat deit.
Worüm √N
De verwachte VerlustMathematikVerwachte VerlustVerwachtwert mal dat Geld, dat insgesamt sett warrt; de Bedrag, de över en Sitzung oder en Tiedruum in'n Dörsnitt verloren geiht.Allens lesen → wasst in't Verhältnis to N; de Streuung wasst in't Verhältnis to √N. Bi lütt N hett de Streuung dat Seggen, un Sitzungen sünd Münten-Smieten mit en lütte Schlagsiet. Bi groot N haalt de Verlust de Streuung in. De Övergang, wo de verwachte Verlust een StandardafwiekungMathematikStandardafwiekungQuadraatwuddel vun de Varianz; de typische Afstand vun en Resultat to'n Verwachtwert.Allens lesen → liek is, liggt bi N = (σ/Vordeel)² = (1/0,027)² ≈ 1.370 Coups bi en eenfache Chance un (5,84/0,027)² ≈ 46.800 bi vulle TallenWettVulle TallEn enkelte Tall, betahlt 35:1.Allens lesen →. Dorünner entscheedt dat Glück; dorbaven de Vordeel.
Wo een dat bruukt
Wenn Se weten wüllt, wat en Sitzung ungewöhnlich weer, rekent Se (Resultat − EV)/σ ut. Wer $10 op Root sett un 100 Coups mit +$150 afsluten deit, liggt bi (150 + 27)/100 = 1,77σ, en Resultat, dat in een vun 25 Fäll vörkümmt: Glück, nix Besünners. En Speler op vulle Tallen liggt bi de sülven +$150 bi 0,3σ: en gewöhnlichen Avend. Datsülve Dollar-Resultat bedüüdt bi verschedene Wetten wat Verschedenes.
Standardfehler vun en Andeel
De sülve Reken seggt Se, wo veel Coups dat bruukt, bet een den Vordeel in de Daten sehn kann. De Standardfehler vun en beobacht Winstandeel is √(p(1 − p)/N). För Root mit N = 1.000: √(0,4865 × 0,5135 / 1000) ≈ 1,6%. De Afstand twischen en faire Münt un Root is 1,35%, also köönt Se de beid na 1.000 Coups noch nich seker ut'neenhollen. Na 10.000 is de Standardfehler 0,5%, un denn köönt Se dat. Dorüm bruukt ok dat Opspören vun Ketelfehlers so veel Coups.
En Henwies to de Scheefheit
Resultaten op vulle Tallen sünd in en korte Sitzung wiet weg vun en Normalverdeelung: De meisten Sitzungen sünd en stetig −$10 je Coup mit af un an en Sprung üm +$350. De ±1σ-Regel beschrifft de Streuung richtig, aver de Form slecht, bet N in de Hunnerte liggt. Bi eenfache ChancenWettEenfache ChanceRoot/Swart, Ungraad/Graad, Hooch/Neddrig. 18 Tallen, betahlt 1:1.Allens lesen → is de Normalverdeelung vun so üm 30 Coups an en gode Naheromrekenen.
Formel
Fragen
Se is en Bewies dorför, dat Se so üm 40 Sitzungen spelt hebbt oder in de glückliche vun veertig weern. Maakt Se dat noch eenmal.
He schwankt jümmer minner: De Standardfehler vun'n Dörsnitt is σ/√N. Bi N = 10.000 is he 1% vun'n Insatz.
Mathe to'n Mitdenken
Versöökt Se dat toeerst sülven. Elk Lösung is toklappt; maakt Se ehr op, wenn Se so wiet sünd.
Över 100 Coups an en europääsch Ketel liggt en EenheitGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen → op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → in't Plus, wenn se tominnst 51 Mal winnt, un en Eenheit op en vulle TallWettVulle TallEn enkelte Tall, betahlt 35:1.Allens lesen → liggt in't Plus, wenn ehr Tall tominnst 3 Mal kummt. Schätt Se beide Wahrschienlichkeiten mit de Klockenkurv un verglieekt Se se mit de akkraten Antwoorten.
Lösung wiesen
Antwoort Root: De Klockenkurv gifft 35,6%, de akkrate Antwoort is 35,5%. De vulle Tall: De Klockenkurv gifft 55,0%, de akkrate Antwoort is 50,9%. De Afkörten funkscheneert för Root un versaagt bi de enkelte Tall.
Root: De Winsten liggt in'n Dörsnitt bi 100 × 18/37 = 48,6, mit en Streeung vun √(100 × 18/37 × 19/37) = 5,0. In't Plus heet 51 oder mehr; de Grenz dortwischen, 50,5, liggt 0,37 Streeungen över den Dörsnitt, un de Klockenkurv leggt 35,6% dorbaven. De akkraten Wahrschienlichkeiten för 51, 52 … 100 Winsten geevt tosamen 35,5%.
Vulle Tall: De Treffers liggt in'n Dörsnitt bi 100/37 = 2,70, mit en Streeung vun √(100 × 1/37 × 36/37) = 1,62. Dree oder mehr Treffers heet över 2,5, also 0,12 Streeungen ünner den Dörsnitt: 55,0% na de Klockenkurv. Akkraat is dat 1 minus de Wahrschienlichkeiten för 0, 1 un 2 Treffers, 6,5% + 17,9% + 24,7%, wat 50,9% överlett.
De Klockenkurv bruukt düchtig Resultaten op beide Sieden vun'n Dörsnitt. Root hett se na 100 Coups; en Tall, de in'n Dörsnitt minner as dreemal drippt, nich. De Kurv gifft „keen Treffer“ sogor 8,7%, wo de wohre Wahrschienlichkeit 6,5% is. Taylor (2021) stellt Binomialverdeelung un Klockenkurv op desülve Wies blangenanner.
To'n Grienen
Elk twintigste Sitzung liggt buten twee Sigma. Een is jümmer an'n Rand.
Borns
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.