Opgaav: Dat Dischlimit
En Martingale mit $10 an en Disch mit $500 Limit. Wo faken scheitert se, wo veel verlüst se dorbi, un hölpt en högeret Limit?
Söss Verlusten in Folg laat ehr scheitern: 1,8% je Zyklus, so üm 60% vun de Sitzungen mit 100 Coups. Dat Scheitern kost $630. En Limit vun $5.000 maakt dat Scheitern rarer (0,25% je Zyklus) un grötter ($5.110). De verwachte Verlust je sett Dollar is bi elk Limit 2,70%.
De Opgaav
En Speler sett $10 op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → un verdubbelt na elk Verlust, na en Winst fangt he vun vörn an. Dat Dischmaximum is $500. (a) Wo vele Verlusten in Folg laat de ProgressionStrategieProgressionElk Regel, de den Insatz na fröhere Resultaten ännert. Negative Progressionen höögt em na Verlusten, positive na Winsten.Allens lesen → scheitern? (b) Wo groot is de WahrschienlichkeitMathematikWahrschienlichkeitMaat dorför, wo wahrschienlich en Resultat is, vun 0 bet 1 oder vun 0% bet 100%. En Tall: 1/37 = 2,70%.Allens lesen → je Zyklus? (c) Wat is bi't Scheitern verloren? (d) Wo ännert sik de Antwoorten bi en Limit vun $5.000? (e) Maakt irgendeen Limit dat System profitabel?
Lösungen (a)–(c)
Insätt: 10, 20, 40, 80, 160, 320. De söövte weer 640 > 500, also laat söss Verlusten de Progression scheitern. (b) p(Verlust) = 19/37 bi Root; (19/37)⁶ = 0,0183, so üm 1,8% je Zyklus. En Zyklus duert in'n Dörsnitt so üm twee Coups, also hett en Sitzung mit 100 Coups so üm 50 Zyklen, un p(tominnst eenmal Scheitern) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, dat sünd 63 Grund-EenheitenGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen →, gegen de $10, de de Zyklus winnen wull.
Lösung (d)
Bi $5.000 sünd Insätt bit 2.560 verlöövt; de teihnte Insatz, 5.120, warrt afwiest. Negen Verlusten laat ehr scheitern: (19/37)⁹ ≈ 0,25% je Zyklus, so üm 11% vun de Sitzungen mit 100 Coups. Verlust bi't Scheitern: 10 + 20 + … + 2.560 = $5.110. De Speler hett sik en rarere Katastroph för den Pries vun en gröttere köfft. Över vele Sitzungen sünd de verwachten Kosten vun't Scheitern p × Verlust ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 je Zyklus bi't Limit vun $500 un 0,0025 × 5.110 = $12,8 bi $5.000; de beiden Tallen liggt dicht bi'nanner, sünd aver nich gliek, un elk is de verwachte VerlustMathematikVerwachte VerlustVerwachtwert mal dat Geld, dat insgesamt sett warrt; de Bedrag, de över en Sitzung oder en Tiedruum in'n Dörsnitt verloren geiht.Allens lesen → vun'n Zyklus plus de $10, de de Winstzyklen inbringt.
Lösung (e)
Nee. Verwachte Verlust je Zyklus = (verwachte hele Insatz in'n Zyklus) / 37, bi elk Limit, wiel elk Wett −1/37 vun sik sülven kost. Dat Limit beslütt blots, wo sik de Verlust op vele lütte Winsten un wenig grote Verlusten verdeelt. Ahn Limit un mit en BankrollGeldBankrollDat ganze Geld, dat för dat Spelen bisiet leggt is (Speelkapitaal). Bankroll-Management is de Entscheed, wo veel dorvun een för elk Wett un för elk Sitzung riskeert.Allens lesen → ahn Enn würr de Progression „funkscheneren“, in den Sinn, dat se nienich scheitert, un se würr ok en Bedrag ahn Grenz setten, mit en verwachten Verlust vun 2,70% vun dissen Bedrag ahn Grenz. Dat DischlimitDischDischlimitLüttste un gröttste Wett, de tolaten is. Dat Maximum is dat, wat Verdubbel-Progressionen ophollt.Allens lesen → is nich dat, wat MartingaleStrategieMartingaleProgression, de de Wett na elk Verlust verdubbelt. Wat se kann un wat nich, steiht in'n Deel Strategie.Allens lesen → an't Funkscheneren hinnert. De Arithmetik is dat.
Twee echte Dischen
Dat Bispeel vun Thorp is en $1-Disch mit $1.000 Maximum, an den en Speler höppt, Dollar för Dollar $30 för en Avendeten to winnen. De Insätt 1, 2, 4 … 512 verlöövt teihn Wetten, also laat teihn Verlusten in Folg de Progression scheitern: eenmal in 785 Zyklen an en europääschen Ketel (eenmal in 613 an en amerikaanschen), för en Pries vun $1.023. Dörtig Zyklen gaht all in 96,2% vun de Fällen good. De annern 3,8% verleert so üm $1.000, un dat Dörsnittsresultat vun'n Avend is −$9,17, jüst 1/37 vun de $339, de de dörtig Zyklen in'n Dörsnitt sett. En $5-Disch mit $2.000 Maximum is nich anners: Insätt bit $1.280 verlöövt negen Wetten, un dat Scheitern kummt eenmal in 403 Zyklen an en europääschen Ketel (eenmal in 323 an en amerikaanschen) un kost $2.555.
En riek Speler
Geevt Se de Progression statt en siet Limit en deepe Bankroll: 1.000 Eenheiten, een Eenheit as Grundinsatz un 1.000 Coups op Root, wobi se wedder bi een Eenheit anfangt, sodraa dat neegste Verdubbeln mehr is as dat, wat över is. Wi hebbt en Million vun so'n Avende simuleert. An en europääschen Ketel höört 52% den Avend in't Plus op, 21% verleert allens, un dat Dörsnittsresultat is −124 Eenheiten. Sülvst in en Speel ahn ZeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen →, wo elk Wett fair is, würrn blots so üm 60% in't Plus ophören. De gewöhnliche Avend is en lütte Winst; den Dörsnitt betahlt de Avende, de bi null ophöört.
De Lehr
Casinos sett Limits, üm ehr egen VarianzMathematikVarianzEn Maat dorför, wo wiet de Resultaten üm den Verwachtwert streut. Hooch bi de vulle Tall, sied bi eenfache Chancen.Allens lesen → to begrenzen, nich üm Systeme to slaan. Dat Martingale scheitert, is en Neveneffekt, över den se sik freit, un de Arithmetik würr ehr sowieso slaan. Wer glöövt, dat Limit is dat Problem, de hett de Klipp funnen un ehr för den Hang hollen.
Formel
Fragen
Se lett Se bit to en högeret Limit överleven, bi dat dat Scheitern rarer un düürer is. De verwachte Verlust je Dollar blifft as he is.
Insätt 10, 30, 70, 150, 310: Dat Limit vun $500 warrt na fiev Verlusten rekt, un dat Scheitern kost $570. De sülven 2,70%.
Dat een enkelt Speler nich mehr setten kann, as de Reserv vun't Casino bequem utbetahlen kann. Varianzmanagement.
Mathe to'n Mitdenken
Versöökt Se dat toeerst sülven. Elk Lösung is toklappt; maakt Se ehr op, wenn Se so wiet sünd.
En MartingaleStrategieMartingaleProgression, de de Wett na elk Verlust verdubbelt. Wat se kann un wat nich, steiht in'n Deel Strategie.Allens lesen → fangt mit $100 op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → an un verlöövt sik hööchstens n Wetten per Zyklus: Na n Verlusten achterenanner gifft se op un fangt vun vörn an. Schrievt Se dat Dörsnittsresultat vun en Zyklus as Formel in n op un rekent Se dat för 5, 6 un 7 Wetten an en europääsch Ketel ut.
Lösung wiesen
Antwoort De Dörsnitt is 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 bi 5 Wetten, −$17,35 bi 6 un −$20,52 bi 7. Mehr Wetten totolaten maakt den Dörsnittszyklus slechter, nich beter.
En Zyklus winnt $100, utnahmen wenn all n Wetten verleert, wat mit de Wahrschienlichkeit qⁿ passeert, wobi q = 19/37. Verleert all, summeert sik de Insätt 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ to 100 × (2ⁿ − 1). De Dörsnitt is also 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Hier is 2q = 38/37, en beten mehr as 1, also wasst (2q)ⁿ mit n, un de Dörsnitt fallt: n = 5 gifft 1,1426 un −$14,26; n = 6 gifft 1,1735 un −$17,35; n = 7 gifft 1,2052 un −$20,52. En längere Ledder verlüst sachter, in 3,6%, 1,8% un 0,9% vun de Zyklen, aver elk Verlust is dubbelt so groot, un per Zyklus geiht mehr Geld över den Disch, to 2,70% vun elk Wett.
An en amerikaansch Ketel is 2q = 40/38, un de Tallen sünd −$29,24, −$36,04 un −$43,20 (Taylor, 2021). In en Speel ahn ZeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen → is 2q = 1, un elk Zyklus gifft in'n Dörsnitt akkraat null, wo lang de Ledder ok is.
De „grote Martingale“ verdubbelt den Insatz na en Verlust un leggt een EenheitGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen → dorto, sodat de Insätt 1, 3, 7, 15, 31 … sünd. Wo veel liggt Se in't Plus, wenn de eerste Winst bi de 1., 2., 3. oder k-te Wett kummt? Wo faken scheitert en Zyklus bi en Eenheit vun $10 un en Maximum vun $500, un wat kost en Zyklus in'n Dörsnitt?
Lösung wiesen
Antwoort En Winst bi de k-te Wett bringt Se k Eenheiten in't Plus: +1, +2, +3 un so wieder. Bi $10 un $500 scheitert de Zyklus na fiev Verlusten, in 3,57% vun de Zyklen, mit −$570. In'n Dörsnitt verlüst en Zyklus $2,32 vun $85,73 Insatz: 2,70%.
De k-te Insatz is 2ᵏ − 1 Eenheiten: 1, 3, 7, 15, 31. De eersten k − 1 Insätt summeert sik to 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. En Winst bi de k-te Wett bringt 2ᵏ − 1, also endt de Zyklus (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k Eenheiten in't Plus: een Eenheit extra för elk Verlust vör de Winst.
Bi $10 per Eenheit sünd de Insätt $10, $30, $70, $150 un $310; de neegste, $630, liggt över dat Maximum vun $500. Fiev Verlusten achterenanner, (19/37)⁵ = 3,57%, kost 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Dörsnitt: De Winsten bringt $10 × k mit de Wahrschienlichkeit (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37 för k = 1 bit 5, un dat Scheitern kost $570 mit de Wahrschienlichkeit 3,57%; tosamen −$2,32. De sette Bedrag liggt in'n Dörsnitt bi $85,73 per Zyklus, un 2,32/85,73 = 2,70%. De gewöhnliche Martingale scheitert an densülven Disch na söss Verlusten, in 1,83% vun de Zyklen, mit −$630, un verlüst $1,74 vun $64,20 Insatz: wedder 2,70%.
En Speler plaant en Martingale op Root mit en eerste Wett vun $1 an en Disch mit en Limit vun $1.000, also sünd teihn Wetten mööglich: $1, $2, $4 un so wieder bit $512. Wo faken verlüst en Zyklus all teihn, wo lang duert dat in'n Dörsnitt, un wo faken endt en Avend mit 200 Wetten so?
Lösung wiesen
Antwoort En Zyklus verlüst all teihn so üm eenmal in 784 Zyklen, wat $1.023 kost. Dat sünd in'n Dörsnitt so üm 1.600 Wetten, un en Avend mit 200 Wetten stött in so üm 11% vun de Fäll an de Wand. En Zyklus verlüst liekers in'n Dörsnitt $0,31 vun $11,31 Insatz: 2,70%.
En Wett op Root verlüst mit de Wahrschienlichkeit 19/37, de Zero mit rekent. Teihnmal achterenanner: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, so üm 1 vun 784. De Insätt 1 + 2 + 4 + … + 512 geevt tosamen $1.023.
En Zyklus duert in'n Dörsnitt 2,05 Wetten, 784 Zyklen also so üm 1.600 Wetten. Coup för Coup tellt, duukt en Serie vun teihn Verlusten ergens in 200 Wetten in 11,3% vun de Fäll op.
Twischen de Katastrophen winnt de Speler $1 per Zyklus: so üm $783 vör den slechten, denn −$1.023, över de hele Streck so üm −$240. Per Zyklus: 1 × (1 − 0,00128) − 1.023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Sett Geld per Zyklus: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Un −0,31/11,31 = −2,70%.
To'n Vergliek en eerste Wett vun $10 bi en Limit vun $500, söss Wetten: De Wand kummt eenmal in 55 Zyklen, un en Avend mit 200 Wetten drippt se in 84% vun de Fäll. En höger Limit maakt den Afsturz sachter un grötter, nich billiger.
To'n Grienen
Rarer un grötter, bi elk Limit. Dat Produkt blifft gliek.
Borns
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. “Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.