Ruinwahrschienlichkeit
De Wahrschienlichkeit, de hele Bankroll to verleren, ehr en Teel nahaalt is.
Bi eenfache Chancen folgt de Ruinwahrschienlichkeit de Formel för den Ruin vun'n Speler. Mit $500 Bankroll, Insätt vun $10 un en Teel vun $600 haalt Se dat Teel in so üm 57% vun de Fäll na un sünd in de annern ruineert.
De Fraag
Se hebbt a EenheitenGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen → BankrollGeldBankrollDat ganze Geld, dat för dat Spelen bisiet leggt is (Speelkapitaal). Bankroll-Management is de Entscheed, wo veel dorvun een för elk Wett un för elk Sitzung riskeert.Allens lesen → un wüllt op a + b Eenheiten kamen, dorüm dat Se jedeen Mal een Eenheit op en eenfache ChanceWettEenfache ChanceRoot/Swart, Ungraad/Graad, Hooch/Neddrig. 18 Tallen, betahlt 1:1.Allens lesen → settt, mit de Winst-WahrschienlichkeitMathematikWahrschienlichkeitMaat dorför, wo wahrschienlich en Resultat is, vun 0 bet 1 oder vun 0% bet 100%. En Tall: 1/37 = 2,70%.Allens lesen → p = 18/37 un de Verlustwahrschienlichkeit q = 19/37. Wo groot is de Wahrschienlichkeit, dat Se dat Teel nahaalt, ehr Se bi null sünd? De Antwoort hebbt Pascal, Fermat un Huygens in de 1650er Johren rutfunnen, un se is een vun de öllsten Resultaten vun de Wahrschienlichkeitsreken.
De Formel för den Ruin vun'n Speler
P(Teel nahaalt) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). De RuinwahrschienlichkeitMathematikRuinwahrschienlichkeitDe Wahrschienlichkeit, de ganze Bankroll to verleren, ehr en Teel oder en bestimmte Tall vun Coups langt is.Allens lesen → is eens minus dissen Weert. Mit q/p = 19/18 ≈ 1,0556 wasst dat Verhältnis exponentiell mit de Tall vun Eenheiten, dorüm straft de Formel lütte Eenheiten swoor: Je mehr Wetten dat bruukt, dat Teel natohalen, desto fakener warrt ünnerwegens de Maut vun 2,70% betahlt.
Wo Se dat leest
Lüttere Eenheiten schaadt. Wer versöcht, $500 mit Insätt vun $10 to verdubbeln, schafft dat in 6% vun de Fäll; mit een eenzigen Insatz vun $500 in 48,6% vun de Fäll. Dristig Spelen, minner un grötter Wetten, bringt de Wahrschienlichkeit, in en Speel mit negativen Verwachtwert en Teel natohalen, op dat Höchste, wiel dat de Tall vun de Malen, wo de Vordeel warkt, so lütt as mööglich hollt. Dat bringt ok de VarianzMathematikVarianzEn Maat dorför, wo wiet de Resultaten üm den Verwachtwert streut. Hooch bi de vulle Tall, sied bi eenfache Chancen.Allens lesen → vun dat, wat Se passeert, op dat Höchste, un de Avend is gau vörbi. De Satz heet „Dristig Spelen is optimal“, un Dubins un Savage hebbt em 1965 bewiest.
Wo dat Problem anfung
De Fraag is öller as dat Roulette. 1656 hett Pascal Fermat en Opgaav stellt: Twee Speler smiet dree Wörpels, elkeen fangt mit 12 Speelmarken an; en Wurf vun 11 schufft en Mark na de ene Siet, en Wurf vun 14 na de annere. Beid hebbt se löst, un Huygens, de dör en Breef vun'n Mathematiker Pierre de Carcavi dorvun hört harr, hett se 1657 as föffte Opgaav vun dat eerste Book över Wahrschienlichkeitsreken drückt, mit de Antwoort un ahn Bewies. De Ölven lett sik op 27 Oorten smieten, de Veerteihn blots op 15, also geiht elk Mark in 9 vun 14 Fäll na den eersten Speler sien Siet, un na de Formel baven is dat bi je 12 Marken so üm 1.157-mal wahrschienlicher, dat he allens winnt, as dat he allens verlüst. En Huusvordeel vun 2,70% is veel lütter, aver desülve Formel wiest, wat he över veel Wetten anricht.
En echte dristige Wett
In'n April 2004 hett Ashley Revell, en junge Engländer, meist allens verköfft, wat he harr, ok sien Kledaasch, un $135.300 in dat Plaza in Las Vegas bröcht. Na en poor lütte Wetten hett he den helen Bedrag op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen → sett, een eenzig Mal. De KugelUtstattungKugelDe lütte Kugel, de gegen de Dreihrichtung vun de Dreihschiev in den Kugelloop insmeten warrt. Moderne Kugeln sünd ut Ivorine oder Teflon, 18–21 mm.Allens lesen → is op de rode 7 fullen, un he is mit $270.600 rutgahn. An en Ketel mit DubbelzeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen → harr disse ene Coup en Wahrschienlichkeit vun 47,37% un hett em in'n Dörsnitt $7.121 kost, de 5,26% Huusvordeel op een eenzige Wett. Op Wetten to $10 verdeelt, weer datsülve Teel meist ahn Utsicht ween. Dristig Spelen maakt de Wett nich goot; dat maakt se so kort as mööglich.
Ruinwahrschienlichkeit ahn Teel
Wenn Se eenfach spelt, bet Se ruineert sünd oder na N Coups ophöört, denn is de Fraag: „Wo groot is de Wahrschienlichkeit, dat mien Bankroll binnen N Coups op null kümmt?“ För en allgemeen N gifft dat keen slaten Formel, aver de Simulatoren op disse Websiet rekent se ut: En Bankroll vun $500 bi $10 op Root is in 100 Coups meist nienich ruineert (ünner 1%), in 500 Coups in so üm 9% vun de Fäll un in 5.000 Coups in so üm 95%. Ahn Regel för't Ophören geiht de Wahrschienlichkeit gegen 100%, un dat is de Fassung op lange Sicht vun'n HuusvordeelMathematikHuusvordeelDe Andeel vun elk Insatz, den dat Casino in'n Dörsnitt behollt: 2,70% bi't europääsche Roulette.Allens lesen →.
- p10 −$500
- p25 −$500
- Median −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Konvergenz op lange Sicht: dat Gesett vun de groten Tallen bi't Roulette
Wo lang, un wo wiet in't Plus
Twee wiedere klassische Resultaten geevt Antwoort op Fragen, de Speler würklich stellt. Ahn Teel hollt gliekbleven Insätt op eenfache Chancen in'n Dörsnitt 37 Coups je Eenheit Bankroll an en europääschen Ketel un 19 an en amerikaanschen, wiel elk Coup in'n Dörsnitt 1/37 vun en Eenheit kost (1/19 an en amerikaanschen Ketel): 100 Eenheiten hollt in'n Dörsnitt 3.700 Coups, ofschoonst de Hälft vun sück Sitzungen na 3.134 vörbi is (kiekt Se bi Sitzungsduer un Kosten). Un wo groot de Bankroll ok is, de Wahrschienlichkeit, an en europääschen Ketel jemals k Eenheiten in't Plus to wesen, is (18/19)ᵏ. Dat sünd 95% för een Eenheit un 58% för teihn, aver keen Bankroll, so groot se ok is, bringt dat op en Wahrschienlichkeit vun tominnst de Hälft, jemals 13 Eenheiten in't Plus to wesen; an en amerikaanschen Ketel is de Wahrschienlichkeit (9/10)ᵏ un fallt bi 7 Eenheiten ünner de Hälft.
Sitzungsduer un KostenAmerikaansch Roulette: Ketel un Regeln
En Bankroll för en Wahrschienlichkeit vun half un half
Dreiht Se de Fraag üm: Wo veel mööt Se mitbringen, dat Se tominnst en Wahrschienlichkeit vun half un half hebbt, en bestimmten Bedrag to winnen, ehr Se allens verleert? För en lütte Winst nich veel. För en grötter stiggt de nödige Bankroll steil an, un vun en gewissen Punkt an langt keen Bankroll mehr, wiel sogor en Bankroll ahn Enn minner as en Wahrschienlichkeit vun half un half gifft, jemals so wiet in't Plus to kamen. Taylor (2021) seggt dat anners: An en amerikaanschen Ketel mööt Se, wenn Se en Wahrschienlichkeit vun half un half op 100 Eenheiten hebben wüllt, mit 94 anfangen un riskeert 94, dat Se 6 winnt. An en europääschen Ketel bruukten Se 88.
De praktische Lehr
Entscheedt Se, wat Se schaffen wüllt. Is dat Teel en bestimmte Winst, denn settt Se hooch un sielden. Is dat Teel en langen Avend, denn settt Se lütt un nehmt Se hen, dat de Vordeel sien 2,70% vun en groten ÜmsatzGeldÜmsatzDat Geld, dat insgesamt över en Sitzung oder en Tiedruum sett warrt, Winsten, de wedder sett warrt, mit tellt. Ok: Handle, Action.Allens lesen → nimmt. Is dat Teel beids, denn mutt wat nageven, un meist is dat dat Teel.
Formel
Fragen
MartingaleStrategieMartingaleProgression, de de Wett na elk Verlust verdubbelt. Wat se kann un wat nich, steiht in'n Deel Strategie.Allens lesen → drückt se bi korte Sitzungen un driggt se bi lange bannig hooch. Gliekbleven InsatzStrategieGliekbleven InsatzBi elk Coup densülven Bedrag setten (Masse égale). De Maatstock, an den elk Progression meten warrt.Allens lesen → mit en grötter Eenheit is de ehrliche Weg, se to drücken.
De Formel baven gellt för eenfache Chancen. Bi Wetten mit hoge Varianz is de Ruin bi lütte Insätt wahrschienlicher, un dat Teel warrt mehr ruckwies nahaalt; bruukt Se den Rekner.
Elk Schritt na dat Teel is en beten minner wahrschienlich as elk Schritt na'n Ruin; dat Verhältnis potenzeert sik mit de Tall vun de Schritten.
Mathe to'n Mitdenken
Versöökt Se dat toeerst sülven. Elk Lösung is toklappt; maakt Se ehr op, wenn Se so wiet sünd.
Se hebbt $100 un wüllt $1.000, un Se sett blots op RootWettRootEenfache Chance op de 18 roden Tallen. Franzöösch: Rouge.Allens lesen →. Plaan een: jümmer $1 setten. Plaan twee: allens setten, wat Se hebbt, bit Se över $500 sünd, denn jüst so veel, dat Se $1.000 haalt. Welk Plaan is beter, un üm wo veel?
Lösung wiesen
Antwoort Plaan twee, wiet vörut. He haalt $1.000 in so üm 9,0% vun de Fäll, dicht bi de fairen 10%. Plaan een glückt so üm 7 Mal in 10²².
In en fair SpeelMathematikFair SpeelEn Speel, in dat keen Siet en Vordeel hett: Elk Wett hett den Verwachtwert null.Allens lesen → kemen Se vun $100 ut in een vun teihn Fäll op $1.000, egaal, wat Se doot, wiel de Dörsnittsweert vun Ehr Geld bi $100 blifft.
De Huusvordeel nimmt 2,70% vun elk Wett, je minner Se insgesamt sett, dest dichter blievt Se also bi een vun teihn. Plaan twee entscheedt de Saak in en Handvull Wetten: $100 warrt to $200, $400, $800, un denn langt $200. He glückt in so üm 9,0% vun de Fäll. Plaan een bruukt Dusende Wetten, bit de Weg to Enn is, un de Huusvordeel, lütt bi elk enkelte, summeert sik to'n meist seker Ruin.
Dat is dat Resultat vun Dubins un Savage in sien eenfachste Form (Epstein, 2013): In en Speel, dat de Bank begünstigt, sett Se so veel, as Se bruukt, so roor as mööglich.
Se hebbt $500 un wüllt $1.000 un höört op, sodraad Se se hebbt. Se wählt een Oort vun Wett un wedderhaalt se, bit se eenmal winnt oder dat Geld utgeiht. Welk Oort gifft de beste Wahrschienlichkeit?
Lösung wiesen
Antwoort En Wett vun $500 op Root: 48,6%. Elk Plaan, de dat Geld op lüttere Wetten verdeelt, steiht slechter dor.
Wählt Se elk Insatz so, dat een Winst langt: $30 op en vulle TallWettVulle TallEn enkelte Tall, betahlt 35:1.Allens lesen → winnt $1.050, $60 op en SplitWettSplitTwee Tallen nebeneen, betahlt 17:1.Allens lesen → winnt $1.020 un so wieder. Denn tellt Se de Wahrschienlichkeit, dat tominnst een Wett winnt, ehr dat Geld utgeiht. Sösstein vulle Tallen to $30 gaht all mit de Wahrschienlichkeit (36/37)¹⁶ = 64,5% fehl, also kaamt se in 35,5% vun de Fäll op $1.000.
De Tabell wiest elk Wett. Root steiht an'n besten dor, wiel dat mit een Wett an't Teel kummt, de Huusvordeel also eenmal betahlt warrt, op $500. De SösserlinieWettSösserlinieSöss Tallen in twee Regen nebeneen, betahlt 5:1. Franzöösch: Sixain.Allens lesen → kummt op Platz twee, wiel se blots dree bruukt. En enkelte Wett op en DutzendWettDutzend1–12, 13–24 oder 25–36, betahlt 2:1.Allens lesen → is an'n slechtesten, en Wahrschienlichkeit vun 12/37; sülvst in EenheitenGeldEenheitDe Grundinsatz, in den en System oder en Speler rekent. Progressionen warrt in Eenheiten beschreven, dat se an elk Disch gellt.Allens lesen → vun $250 spelt, bit Se $1.000 oder mehr hebbt, kummt dat Dutzend blots in 46,4% vun de Fäll an't Teel.
Bollman (2024) maakt desülve Tabell för en amerikaansch Ketel. In sien Reeg för dat Dutzend steckt en Fehler: Dor schull 12/38 = 31,6% stahn.
WettInsatz × Tall vun de WettenWahrschienlichkeit, $1.000 to halenVulle Tall$30 × 1635,5%Split$60 × 835,9%Straat$90 × 534,5%Corner$125 × 436,7%Sösserlinie$166, $166, $16841,2%Dutzend$500 × 132,4%Root$500 × 148,6%Se sett Coup för Coup een Eenheit op Root, mit en BankrollGeldBankrollDat ganze Geld, dat för dat Spelen bisiet leggt is (Speelkapitaal). Bankroll-Management is de Entscheed, wo veel dorvun een för elk Wett un för elk Sitzung riskeert.Allens lesen →, de nie utgeiht. Na den eersten Coup sünd Se een Eenheit in't Plus oder een Eenheit in't Minus. Wo groot is de Wahrschienlichkeit, dat Se jichtenswann wedder akkraat bi null staht?
Lösung wiesen
Antwoort 36 vun 37, 97,3%. An en amerikaansch Ketel sünd dat 36 vun 38, 94,7%.
Winnt de eerste Coup (18 vun 37 Mal), sünd Se een Eenheit in't Plus, un de Huusvordeel treckt elk Sitzung ahn Enn na ünnen, sodat Se fröher oder later wedder dör de Null gaht: Dat is seker. Verlüst he (19 vun 37 Mal), mööt Se een Eenheit wedder rinhalen, un de Wahrschienlichkeit, jichtenswann een Eenheit in't Plus to wesen, is 18/19 (kiekt Se de Tabell baven).
Tosamen: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Allgemeen is de Wahrschienlichkeit 1 minus de Afstand twischen de Wahrschienlichkeiten, en Coup to winnen un to verleren: 1 − 1/37 an en europääsch Ketel, 1 − 2/38 an en amerikaanschen. In en Speel ahn ZeroKetelZeroDat enkelte gröne Fack, dat keen eenfache Chance, keen Dutzend un keen Kolonn afdeckt; de Born vun'n Huusvordeel. Ok: eenfache Zero, 0.Allens lesen → is de Afstand null un de Wahrschienlichkeit 1: De Speelstand kummt jümmer wedder op null torüch. Epstein (2013) gifft de allgemene Regel an.
Pascal sien Opgaav vun 1656: Twee Spelers smiet dree Wörpels, elk fangt mit 12 Speelmarken an. Elk 11 bringt den eersten Speler en Mark, elk 14 den tweeten; anner Wörp tellt nich. Wo wahrschienlich is dat, dat de eerste Speler all 24 winnt? Un wenn Se in elk Coup statts dat 1 Eenheit op Root sett, gegen en Fründ, de de Bank maakt, mit je 12 Eenheiten: Wo wahrschienlich winnt Se all 24?
Lösung wiesen
Antwoort De eerste Speler winnt in so üm 1.157 vun 1.158 Fäll. Se winnt op Root all 24 Eenheiten blots in so üm 34% vun de Fäll.
Dree Wörpels geevt de 11 op 27 Oorten un de 14 op 15 Oorten, also geiht elk Mark, de sik bewegt, in 27 vun 42 Fäll an den eersten Speler, dat heet in 9 vun 14. Fangt elk Siet mit 12 an, is de Wahrschienlichkeit, allens to winnen, 1/(1 + r¹²), wobi r dat Verhältnis vun de Wahrschienlichkeit vun de Gegensiet to Ehr is.
För den eersten Speler is r = 5/9, un (5/9)¹² ≈ 0,00086, de Wahrschienlichkeit is also so üm 0,99914: en Quoot vun 9¹² to 5¹², also 282.429.536.481 to 244.140.625, so üm 1.157 to 1. Jüst disse Tallen hett Huygens 1657 drückt.
Op Root is r = 19/18 wegen de Zero, un (19/18)¹² ≈ 1,913: Ehr Wahrschienlichkeit is 1/2,913 ≈ 34,3%. En Münt geev 50%. De Huusvordeel vun 2,70% op elk Wett summeert sik över de velen nödigen Wetten to en Afstand vun 16 Prozentpunkten.
To'n Grienen
Dristig Spelen is optimal. Dat is ok gau vörbi.
Borns
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Breef an Huygens, 28. September 1656, över dat Problem, dat Pascal Fermat stellt harr.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. „Briton bets it all on roulette spin, and wins.“
- Las Vegas Sun. „Man wagers life’s worth.“